Tout le monde connait les nombres, n’est-ce pas ? En fait, les « gens normaux » se fient plus aux nombres que les mathématiciens euxmêmes, qui depuis longtemps cogitent sur le fondement philosophique des nombres. Par tradition, les mathématiciens s’enorgueillissent del’inutilité pratique de leur spécialité sous sa forme pure, et laissent la découverte d’applications pratiques et de méthodes de calcul aux ingénieurs et scientifiques de nombreux domaines.

Il existe pourtant une branche particulière des mathématiques, la théorie des nombres, qui traite et explore en profondeur les propriétés des nombres. On connait bien les nombres premiers : les nombres 2, 3, 5, 7, 11, etc. Il n’existe pas de limite à la suite des nombres premiers. Les théoriciens des nombres essaient depuis longtemps de trouver une méthode pour les calculer directement, au lieu de parcourir systématiquement tous les nombres pour les découvrir. A l’heure actuelle, on ne vérifie même pas tous les nombres, mais seulement certains candidats particuliers, pour lesquels il existe une méthode de test relativement rapide de leur caractère premier. Le plus grand nombre premier connu à ce jour est un nombre de plus de 24 millions de chiffres, mais un nouveau record est établi presque tous les ans. Par analogie, on nomme souvent les nombres premiers « les atomes des mathématiques », car ils sont un élément de tous les nombres.

Parfois il est difficile de trouver la preuve de simples hypothèses sur les nombres et des mathématiciens s’y efforcent en vain depuis des siècles. Le « dernier théorème de Fermat » en est l’un des plus fameux exemples : une assertion formulée au 17ème siècle par Pierre de Fermat sous une forme simple, a été démontrée seulement en 1994 par Andrew Wiles (on l’appelle maintenant « théorème de Fermat-Wiles »). De simples questions sur les nombres résultent parfois d’exercices provenant de livres de vulgarisation, dont le but est de présenter les mathématiques de façon ludique aux non-spécialistes. Les lecteurs doivent souvent imaginer leur propre méthode pour résoudre un problème. Quand le mathématicien amateur ne se contente pas de la simple solution d’un problème de calcul (même par une méthode qu’il a lui-même trouvée), mais soulève d’autres questions, l’affaire devient plus intéressante. Je présenterai quelques exemples.